Bal Arısı Matematik mi Biliyor? / Bal Peteğinin Yapısı

 

BAL PETEĞİNİN YAPISI

 

Herhangi bir düzlemsel bölgeyi (kare veya dikdörtgen gibi), çevre uzunluğu en az olan eşit alanlı küçük parçalar ile kaplamak istediğimizi kabul edelim. Çevresi eşit ve alanı en fazla olan geometrik şekil çemberdir. Fakat aşağıdaki şekilden de görüleceği üzere çemberlerin aralarında boşluklar kalır.

Bu nedenle çokgenleri kullanmamız gerekiyor. Burada geometri bilgimizden biliyoruz ki; çevre uzunluğu eşit ve en büyük alanlı çokgenler düzgün çokgenlerdir. Mesela; çevreleri eşit en büyük alanlı üçgen eşkenar üçgen, çevreleri eşit en büyük alanlı dörtgen kare, çevreleri eşit en büyük alanlı beşgen ise düzgün beşgendir. Şimdi düzlemi bazı çokgenler ile kaplama örnekleri verelim;

 

Düzlemde üçgenler kullanılırsa:

Düzlemde kareler kullanılırsa:

Düzlemde düzgün beşgenler kullanılırsa:

Düzlemde düzgün altıgenler kullanılırsa:

Yukarıdaki şekillerden de görüldüğü gibi eşkenar üçgen, kare ve düzgün altıgende düzlem tamamen kaplanabildiği halde, düzgün beşgenler arasında boşluklar oluşur.

 

Burada akla şöyle bir soru gelebilir:

Hangi eşit alanlı düzgün çokgenler ile düzlem kaplanabilir?

n kenarlı bir düzgün çokgenin her bir iç açısı 180-360/n dır. Çokgenin düzlemde araya boşluk bırakmadan doldurması için birleşilen köşelerde x komşu açıların sayısı olmak üzere

 

x(180-360/n)=360

denklemi sağlanmalıdır.

x=2+4/(n-2)

olarak yazılırsa n= 3, 4 veya 6 olabilir.

 

Demek ki düzlemi boşluk bırakmadan düzgün çokgenler ile örtmek istiyorsak eşkenar üçgen, kare veya düzgün altıgen kullanmalıyız. Eşit çevre uzunluğuna sahip bu çokgenlerden hangisi ile en büyük alanlı bölge elde edilebilir?

Elimizde x birim uzunluğunda bir tel olsun. Bu durumda alanlar sırasıyla Tablo 1 de görüldüğü gibi olur.

Tablo 1 de görüldüğü gibi eşit çevreye sahip; üçgen, kare ve düzgün altıgenden, en büyük alana sahip çokgen düzgün altıgendir. Bal peteklerinin düzgün altıgen biçiminde olması akılsız ve şuursuz bir arının tercihi olamaz…

 

Gerçek bal peteği